Výpočet kurzu a marže bookmakera: matematika za čísly tiketu

Číslo 1.85 na tiketu je příběh, ne náhoda

Dlouho jsem k sázkařským kurzům přistupoval jako k dané ceně. Operátor napíše 1.85 na domácí výhru, já se rozhodnu, jestli si vsadím, nebo ne. Zlom přišel, když jsem se poprvé posadil k tabulce v Excelu a zkusil si spočítat, kolik z toho kurzu je „férová“ pravděpodobnost a kolik je marže operátora. Překvapilo mě to. Čísla, která mi připadala jako rozumný odhad, měla uvnitř typicky 5 až 7 procent tvrdě vybraného poplatku.

Tenhle článek je o matematice, která se za kurzy skrývá. Ne akademická — praktická. Ukážu, jak z kurzu vyčíst implikovanou pravděpodobnost, jak poznat overround a jak odhadnout, kolik si operátor bere za umožnění sázky. Když tohle jednou pochopíte, přestanete se na kurzy dívat jako na „cenu“ a začnete je vnímat jako „cenovou nabídku s přirážkou“.

Kurz jako pravděpodobnost obrácená naruby

Decimální kurz, jaký vidíme v českých sázkovkách (1.85, 2.40, 3.50), je to čistá matematika: je to převrácená hodnota pravděpodobnosti, kterou bookmaker přiřazuje danému výsledku, zvýšená o marži. Formálně: pokud by trh byl férový (bez marže), platilo by: kurz = 1 / pravděpodobnost. Kurz 2.00 odpovídá 50% pravděpodobnosti, 4.00 je 25 %, 1.50 je zhruba 66,7 %.

Z této rovnice se dá pravděpodobnost (označovaná jako implied probability, implikovaná pravděpodobnost) zpětně vypočítat: implikovaná pravděpodobnost = 1 / kurz. Kurz 1.85 tedy odpovídá implikované pravděpodobnosti 54,05 %. Kurz 3.50 dává 28,57 %. Tohle je první krok, který každý sázkař začátečník potřebuje znát, protože převádí kurz na jazyk, kterému rozumíme — šanci na vítězství vyjádřenou v procentech.

V reálu by čísla pravděpodobností všech tří možných výsledků zápasu (domácí, remíza, hosté) měla dát dohromady 100 %. To znamená, že by jejich implikované pravděpodobnosti měly v součtu dát 1. U férového kurzu by to tak fungovalo. U reálných kurzů to nefunguje — součet je vždy vyšší než 1. A rozdíl mezi tím, co vidíme, a 1 je přesně to, co se jmenuje overround.

Overround: co bere bookmaker a proč

Overround je součet implikovaných pravděpodobností všech možných výsledků jednoho trhu mínus 100 %. Ukažme to na konkrétním příkladu z fotbalu. Operátor nabízí kurz 2.00 na výhru domácích, 3.40 na remízu a 3.75 na výhru hostů. Implikované pravděpodobnosti: 50,00 %, 29,41 %, 26,67 %. Součet: 106,08 %. Overround: 6,08 %.

Těchto 6,08 % je to, co jde bookmakerovi. V modelovém férovém trhu by se ty stejné pravděpodobnosti převedly na kurzy 2.12, 3.60, 3.98 (tedy vyšší) a součet by byl rovných 100 %. Operátor ale kurzy záměrně snižuje, aby matematicky zajistil, že bez ohledu na výsledek si odnese přesně oněch 6,08 % objemu přijatých sázek (za předpokladu, že se na jednotlivé výsledky vsází v poměru odpovídajícím pravděpodobnostem).

V češtině se overroundu říká taky „marže“ nebo „bookmaker’s edge“. V terminologii trhu je to stejná věc z různých úhlů — overround je nad 100 %, marže je to, co z toho operátor reálně inkasuje. Vzorec pro převod z overroundu na marži: marže = overround / (100 % + overround). Pro náš příklad: 6,08 % / 106,08 % = 5,73 %. To znamená, že z každých 100 Kč sázek do tohoto trhu si operátor v dlouhodobém průměru odnese 5,73 Kč.

Vzorec v praxi: jak z kurzové tabule číst marži

Praktický postup, který používám vždy, když chci odhadnout kvalitu nabídky:

Krok 1 — napíšu si kurzy všech výsledků trhu (u fotbalu 1X2 jsou to tři výsledky, u tenisu dva, u hokeje v regulaci taky tři).

Krok 2 — spočítám implikovanou pravděpodobnost každého z nich jako 1/kurz.

Krok 3 — sečtu všechny implikované pravděpodobnosti.

Krok 4 — od součtu odečtu 1 (nebo 100 %) — výsledek je overround.

Pro rychlou kontrolu si pamatuju orientační hladiny. V evropském fotbale u hlavních lig se overround na trhu 1X2 u předzápasových kurzů pohybuje od 4 % (velmi tight) do 8 % (ústupkový). U menších lig a méně sledovaných trhů i výš. U live sázek je overround vyšší — obvykle 8 až 15 % — protože bookmaker musí rychle reagovat na dění a zahrnuje do marže rezervu na riziko. V tenisu u hlavních grandslamů se overround drží nízko (3–5 %) u zápasů hvězd, u menších turnajů roste.

Konkrétní příklad výpočtu marže

Vezmu si fotbalový zápas, u kterého dva různí operátoři nabízejí tyto kurzy na 1X2:

Operátor A: domácí 1.92, remíza 3.50, hosté 4.00. Implikované pravděpodobnosti: 52,08 %, 28,57 %, 25,00 %. Součet 105,65 %, overround 5,65 %, marže 5,35 %.

Operátor B: domácí 1.85, remíza 3.40, hosté 3.80. Implikované pravděpodobnosti: 54,05 %, 29,41 %, 26,32 %. Součet 109,78 %, overround 9,78 %, marže 8,91 %.

Výsledek tohohle srovnání je zřejmý — Operátor A nabízí lepší hladinu. Na každém stejném tiketu si nesete o 3,5 procentního bodu vyšší očekávaný výnos jen tím, že jste sázel u A. Při objemu sázek 10 000 Kč za rok je rozdíl 350 Kč. Při objemu 100 000 Kč je to 3 500 Kč.

Zdůrazňuju, že tenhle výpočet je modelový a v reálu se komplikuje tím, že kurzy se během dne mění, dostupnost konkrétních trhů se liší a operátoři záměrně optimalizují marži směrem nahoru u trhů, kde mají převahu. Ale směr, kterým vás výpočet navede, je správný: hledejte nízký overround, obcházejte vysoký.

Proč se overround liší u různých trhů a sportů

Overround není u jednoho operátora konstantní. Liší se napříč sporty, napříč trhy a napříč ligami. Důvod je kombinace rizika, likvidity a konkurence. U hlavních trhů v nejsledovanějších ligách (fotbalová Liga mistrů, NHL, grandslamové tenisové turnaje) je konkurence mezi bookmakery nejtvrdší a kurzové hladiny se přibližují férovému trhu. Marže klesá, protože kdo ji drží vysoko, ztrácí tržní podíl.

U menších lig (druhá rakouská fotbalová liga, polská PlusLiga, finský hokej) je konkurence menší a bookmaker si může dovolit vyšší overround. U specializovaných trhů (přesný počet rohů, žluté karty, první střelec) stoupá marže i u velkých lig, protože jsou méně likvidní a hůř odhadnutelné.

Živá hra je ještě jiný případ. Online kurzové sázky v Česku za 1Q 2025 dosáhly 3,3 miliardy Kč s meziročním růstem 9,5 %, a podle EGBA v Evropě tvoří live segment 37 % online sportovního sázení, předzápasové 63 %. Live sázky mají systematicky vyšší overround, protože bookmaker musí kurzy nastavovat v sekundách a pracuje s většími rezervami. Proto pro hráče platí praktické pravidlo — čím méně děláte live rozhodnutí, tím méně platíte na marži. Více o tom v článku o live sázkách a jejich růstu.

Co si z matematiky kurzu odnést

Každý kurz je zahalený vzorec. Rozbalit ho trvá pár vteřin a výsledek vás osvobodí od dojmu, že „1.85 je dobrý kurz“ bez dalšího kontextu. Kurz je férový, tight, nebo agresivně zamarženovaný — a poznat to dokáže každý, kdo umí dělit 1 kurzem a sčítat. Když si tenhle reflex zautomatizujete, vybíráte trhy na základě dat, ne podle toho, na jakou aplikaci jste zvyklí.